Antepasados y laberintos

Estamos rodeados de paradojas, razonamientos que parecen contradictorios, de enormidades impensables, que no son tales, de imposibilidades, que sin embargo ocurren, de incertezas, que aún así se verifican.
Y a veces, el desentrañar el secreto que esconde una nos allana el camino para recorrer otra.
Por ejemplo, aquella tan famosa de Aquiles y la tortuga, que nos hace pensar en longitudes tan pequeñas, y a la vez tan infinitas, que parece imposible recorrerlas a todas ellas.

Algo así, pequeño e infinito, es lo que aparece en "Fiasco" de Stanislaw Lem. Según el explorador Tempe dice, y es creíble debido a su amnesia, no recuerda quién se lo contó a él. Pero es un relato conocido bajo el nombre de "paradoja de los antepasados" o "paradoja de los bisabuelos".

No recuerdo quién me demostró esto, ni cuándo, pero si un hombre quiere determinar la probabilidad de su propio nacimiento, remontándose en el árbol genealógico de sus padres, abuelos, bisabuelos, etc., puede obtener un valor tan próximo a cero como desee. Si sus padres no se conocieron por casualidad, entonces fueron sus abuelos, y para cuando uno llega a la Edad Media el número de sucesos perfectamente posibles que descartarían todos los nacimientos necesarios para que uno naciera es mayor que el número de todos los átomos del Universo. En otras palabras, a cada uno de nosotros no nos cabe la menor duda de que existimos, a pesar de que ninguna estocástica habría podido predecir nuestra existencia doscientos años antes.

Si bien la presenta de manera, podría decirse, invertida, no destacando la enorme cantidad de antepasados esperables sino la pequeñísima probabilidad de una existencia en particular, la idea inmediatemente se hace llamativamente insostenible. Si una persona tiene 16 tatarabuelos, remontando 35 generaciones hacia atrás resulta que tiene más antepasados que personas vivas hay hoy. Y eso pensando en apenas una persona...

Esta paradoja ignora dos hechos sustanciales. No solo no se está considerando la repetición de antepasados entre hermanos y otros familiares, sino tampoco, y ahí está la clave, las repeticiones de antepasados en miembros de las distintas ramas de ese arbol genealógico.
Esta cuestión recurrente, enunciada con distintos grados de seriedad y con distintas conclusiones finales, fue seriamente estudiada por la Doctora en Ciencias Físicas Susanna Manrubia, que en un libro y en una charla TEDx de igual nombre, "Genes y genealogías", la desarma con rigurosidad.

Volviendo a la novela de Lem, una frase deja en claro que así como una paradoja nos lleva a otra, y podemos encontrar una salida...

El Universo es un laberinto hecho de laberintos. Cada uno conduce a otro. Y allá donde no podemos ir nosotros mismos, llegamos con las matemáticas.

De cómo cambia una coma

A veces son los detalles los que marcan la diferencia. Un detalle menor, un trazo, un susurro, un gesto, un rasgo, una marquita apenas, que hace que todo sea muy diferente.
Puede ser algo dicho, y escuchado, y pasado por alto. Puede ser algo escrito, y leído, e ignorado. Puede ser algo mostrado, y visto, y desapercibido.

Casi sobre esa nimiedad construye Eduardo Sacheri el desenlace de  "La noche de la Usina". No la historia, que queda en claro desde el principio que sitúa en una realidad histórica concreta las desventuras de un grupo de amigos y vecinos del ficticio pueblo de O'Connor.
Sin develar cuestiones fundamentales, y omitiendo alguna parte del texto, puede leerse esto:

Belaúnde recuerda, con una claridad inaudita, que Fontana habló de diez cargas con una masa total de nueve kilos, trescientos gramos. Pero Medina, al que se le dan mucho mejor las manualidades que los cálculos, confundió los decimales...

Y así de facil cambia el final anunciado por otro mucho más dramático y espectacular. Y hasta más liberador, si se quiere.

Podría parecer un recurso literario, sin visos de realidad, pero no. En el año 1999 una sonda espacial se estrelló contra la superficie de Marte por un error de cálculo, originado en las diferentes unidades utilizadas por distintos equipos de trabajo.

Una vez más, la realidad supera a la ficción.

Máximo / Supremo

De Platón, el filósofo griego, mucho se ha dicho y mucho más podría decirse todavía. De sus obras, de sus diálogos, de sus maestros y sus aprendices, y de todos los aspectos de su vida, de los que son admirados todavía, y de aquellos que el paso del tiempo ha cubierto con un manto de piedad.
En uno de sus textos, "El banquete" (Συμπόσιον es el nombre original) habla, entre otras cosas, del amor en sus distintas formas, y da pie para el concepto de "amor platónico".
Es Agatón, uno de los comensales, quien en su afán de elogiar a su turno al dios Eros, tal como Erixímaco pidiera, hace uso del concepto matemático de supremo, sin siquiera darse cuenta.
Estas fueron sus palabras:

Y en lo que se refiere a valentía, a Eros ni siquiera Ares puede resistir, pues no es Ares quien domina a Eros, sino Eros a Ares. Ahora bien, el que domina es superior al dominado y si domina al más valiente de los demás, será necesariamente el más valiente de todos.

De esta manera exhibe una justificación de por qué, según su manera de ver, es Eros el mejor de todos los dioses del Olimpo.
Con sus últimas palabras, al decir que el que domina al más valiente de los demás es el más valiente de todos, pone en acción la definición de supremo. Se llama así al mínimo elemento de un conjunto ordenado que es mayor o igual que todos los elementos de un subconjunto.
En este caso el subconjunto está formado por todos los dioses del Olimpo, excepto Eros, siendo Ares el más valiente de ellos. Y Eros, sin estar incluido en ese conjunto, resulta ser más valiente todavía, constituyéndose en el supremo.
Y así es como la filosofía y la matemática se ponen de acuerdo con una coincidencia.

Conjunto vacío

El ser y la nada. Lo que no existe. Lo que no es.
De eso se habla en un diálogo de fondo, fuera de la acción principal, en "La migliore offerta", de Guiseppe Tornatore.
Por esas cuestiones de idiomas, traducciones, doblaje y subtitulado, se la conoce también como "The best offer", "La mejor oferta" y "Al mejor postor". Y por esos mismos motivos no se escucha lo mismo que se dice en el original.
Sin más detalles de contexto, sin saber de qué hablan esos dos personajes, ni por qué se embarcaron en tan filosófica cuestión, se los oye enunciar, como si fuese una lista:

El conjunto de semanas de sólo seis días.
El conjunto de las horas de 51 minutos.
La longitud de un punto.
La dirección de un círculo.
El lado de una circunferencia.
El centro del espacio.
El área de un segmento.
La posición vertical de una esfera.

Así, de repente y sin aviso, podría pasar desapercibido. O más aún, ser un diálogo al azar. O ni siquiera tener sentido. Pero sí lo tiene. Son maneras de definir el conjunto vacío, ese que carece de elementos, y que por lo tanto es único. Todo lo que se menciona es inexistente. Se lo puede nombrar, pero eso no alcanza a darle entidad real. Parece que existe, pero no. Se hace de cuenta, apenas.

Ese pequeño personaje, claramente, sabe mucho.

Fórmulas, funciones y gráficas

Que las funciones modelizan múltiples situaciones, como el estado de un proceso o una evolución temporal, no es una idea novedosa. Que se aplican incluso a cuestiones inverosímiles, tampoco. Y así es que con la mirada matemática que sobre el amor tiene un niño prodigio se hizo un libro. Mejor dicho, con sus repetidos intentos de pensar el amor matemáticamente.
Colin, el protagonista de "El teorema Katherine", quiere entender por qué una y otra vez, hasta sumar diecinueve, es dejado por una Katherine diferente. Y creé que sólo podrá alcanzar esa comprensión si encuentra la fórmula de la función que pueda representar gráficamente todas las relaciones en las que fue dejado. Porque lo que busca es eso, una función, y no un teorema.
Y así, haciendo reiterados intentos que lo acercan cada vez más a su objetivo, se ve en la necesidad de explicar a otros lo que está pensando:

Colin veía la dicotomía de los dejadores frente a los dejados como una campana de Gauss. La mayoría de las personas se colocaría en la zona central. Es decir, son leves dejadores o leves dejados.

Su primer intento es simple y se ve así: f(x) = D³x² – D.

Siendo x = tiempo e y = felicidad, entonces y = 0 inicio de la relación y ruptura, y negativa = ruptura de m, e y positiva = ruptura de f.

Pero el devenir de sus días en un viaje repentino, el recuerdo de sus experiencias, el intercambio con otros y su genio sin igual lo llevan a considerar más variables, y a descubrir que las cosas no son siempre tan sencillas.

Para escribir este libro, John Green, su autor, contó con la ayuda de un matemático real, Daniel Biss, que se sincera y declara que:

... ningún matemático adulto y razonable (como mínimo no un matemático que tenga alma) se atrevería a sugerir que las relaciones amorosas pueden predecirse con una sola fórmula.

Y sin embargo, en su afán de rigurosidad, cita un trabajo real sobre las relaciones humanas y recomienda la lectura de una reseña (disponible aquí).
Lo dicho. Las cosas no siempre son tan sencillas.

¡Gracias, Cande!

ACTUALIZACIÓN 27/01/2019: Valentín Muro se explayó en su newsletter "Como funcionan las cosas" sobre cómo funciona la matemática del amor. Entre otras referencias citó el curioso trabajo de Peter Backus en el que, aplicando la ecuación de Drake, explica por qué no tiene novia.

Convenciones y conversiones

Cuando en 1893 George Bernard Shaw escribió "La profesión de la Señora Warren" obtuvo lo esperable: una orden que prohibía su representación. No fue sino hasta que hubieron pasado 32 años que Londres pudo disfrutar de la primera exhibición pública de la obra en Inglaterra. Y todo por la falta de respeto a la moral y buenas costumbres y el exhibicionismo con que Shaw mostró una realidad que, a pesar de las convenciones sociales, la hipocresía y el discurso oficial, seguía siendo real. Puso frente a todos las evidencias de la crítica situación económica y social que empujaba a muchos, y permitía sacar provecho a unos pocos. Miserables los primeros, respetables los segundos, al decir de esas convenciones. Ese ataque, que podría haber llegado desde cualquier ámbito, se apoya en algunas cuestiones de época que es conveniente conocer para entender plenamente.

En los años en que transcurre la obra, las mujeres no podían acceder a un título universitario, pero ya se les permitía participar de unos exámenes escritos que aseguraban elevados niveles de excelencia académica, los tripos. Sólo los hombres podían obtener los primeros puestos, llamados Wranglers, pero se mencionaba a aquellas mujeres que lograban posiciones equivalentes. Como Vivie, protagonista de la obra:

PREAD: Sabe usted, he estado esperando ansioso el conocerla desde su magnífico logro en Cambridge; algo sin precedente en mis días. Fue absolutamente magnífico, usted empatada con el tercer Wrangler. El lugar idóneo, sabe. El primer Wrangler siempre es un sujeto ensimismado, malsano, que lleva el asunto hasta el extremo de la enfermedad.
VIVIE: No sale rentable. No lo volvería a hacer por el mismo dinero.
PREAD: (Pasmado.) ¡El mismo dinero!
VIVIE: Sí. Cincuenta libras. Tal vez no sepa como aconteció. La señora Latham, mi tutora en Newnham, le dijo a mi madre que podría destacar en los Tripos de matemáticas si los preparaba a conciencia. Por entonces, los periódicos no paraban de hablar de Phillipa Summers que había batido al Wrangler del último curso. Se acuerda de ella, seguro.

Vivie menciona a Phillipa Summers, seudónimo que el autor impone a Philippa Fawcett, quien en 1890 superó el mejor puntaje masculino de los tripos de matemática en Cambridge.

Pero Vivie también habla de dinero, una constante en la obra, que cuantifica objetos, trabajos, honores, personas, éxitos y fracasos. No es difícil perderse en la abrumadora cantidad de unidades monetarias de la Inglaterra de aquellos años, tan lejana del sistema decimal: la libra se dividía en 20 chelines, cada uno de ellos en 12 peniques, formado por 4 farthings. Es decir que:

1 libra = 20 chelines = 240 peniques = 960 farthings

Si bien esto permite poner en perspectiva todos los valores mencionados por los personajes, todavía se hace complicado pensarlo en términos actuales, como es habitual en cualquier conversión de dinero a lo largo del tiempo.

Shaw habla también de porcentajes de ganancias, salarios de diferentes ocupaciones, rentas anuales, costos y beneficios, pasando por el tamiz del dinero todas las cuestiones que se abordan en el texto. Tal cómo diferentes personajes proponen, y otros enfrentan. Vivir, para ellos, no es más que ganar dinero.

(Para un análisis más detallado y profundo, se puede consultar la publicación de divulgaMAT.)

Pasatiempo

Cada uno espera como quiere. Cada uno usa el tiempo libre como se le da la gana. Cada uno inventa tareas para llenar momentos vacíos según sus gustos y habilidades.
Hay quien hace crucigramas, o sudokus. Hay quien lee, o duerme, o escucha música. Hay quien se abstrae sutilmente del mundo que lo rodea y simplemente queda en suspenso...

Y hay quien hace cuentas. Cálculos, operaciones, imagina problemas, los resuelve, se propone preguntas y las responde, o al menos lo intenta,  verifica, contrasta, reevalúa.
Esto es lo que hace el protagonista sin nombre de "El fin del mundo y un despiadado país de las maravillas", la novela de Murakami, cuando se encuentra encerrado en un ascensor que lo transporta sin prisa y con dudas:

Descorazonado, me recosté en la pared del ascensor y decidí matar el tiempo contando la calderilla que llevaba en los bolsillos. (...) En aquel instante llevaba en los bolsillos tres monedas de quinientos yenes, dieciocho de cien, siete de cincuenta y dieciséis de diez. Lo cual ascendía a un total de 3.810 yenes. Ese cálculo no requería esfuerzo alguno. Una operación aritmética de ese nivel es más sencilla que contar los dedos de la mano. Satisfecho, me recosté en la pared de acero y contemplé la puerta que tenía ante mis ojos. Seguía cerrada. ¿Por qué tardaba tanto en abrirse? (...) Recostado en la pared, hundí las manos en los bolsillos y empecé a contar de nuevo la calderilla. Había 3.750 yenes.¿3.750 yenes? Algo no cuadraba. Sin duda había cometido algún error. Noté cómo las palmas de las manos se me humedecían de sudor. En los tres últimos años, nunca había fallado al contar la calderilla de los bolsillos. Jamás. Se viera como se viera, era una mala señal.

La situación se describe con más detalles y mayor extensión (ver en los comentarios). Pero el fragmento es un ejemplo de aquellos que encuentran en los números un entretenimiento y obtienen de ellos placer, por los logros, las certezas, el control, la seguridad.  No se trata sólo de facilidad, o de habilidad, sino de gusto y disfrute.
Le puede pasar a cualquiera.

Saber / hacer

Terry Pratchett es reconocido por su extensa saga de novelas de Mundodisco. Pero también se animó a seguir produciendo por fuera de ella, como con las historias de Johnny y sus amigos, unos adolescentes de los '90 que pasan por más de una aventura poco usual, y son la excusa para hacer algunas críticas sociales. Una de estas novelas, "Johnny y la bomba", es un excelente relato de viajes en el tiempo, bien planteada, bien resuelta, y con buenas consideraciones al respecto de tan escabroso y visitado asunto, que no por habitual es sencillo de tratar, si se quieren evitar lugares comunes.

Al momento de presentar a sus amigos, Johnny no ahorra en descripciones. A medida que van apareciendo habla de Kirsty, el Serio, el Cojo, y Bigmac:

Bigmac era bueno. Se le daban bien las mates. De algún modo, vaya. Volvía locos a los profes. Le enseñabas cualquier ecuación horrible y decía 'x=2,75', y era correcto. Pero lo que no sabía era por qué. 'Simplemente es así', te decía. Y eso no estaba bien. Las mates no consistían en saber las respuestas, sino en saber cómo se conseguían, incluso si después el resultado era incorrecto.

Buen punto, Johnny! Ciertamente existe una dicotomía entre el 'saber' y el 'saber hacer'. Saber está muy bien, es útil, es rápido, es necesario, y hasta es reconfortante porque brinda seguridad. Pero 'saber hacer' ofrece la posibilidad de sortear un amplio abanico de nuevas situaciones, porque se sabe cómo.
De esto se trata la ciencia. De recorrer caminos sin saber a dónde llevan, pero sabiendo cómo avanzar. Y lo que se encuentre en el destino, será un nuevo punto de partida.
Las enciclopedias, muchos libros, bastante de lo que circula por internet, y muchas personas, son excelentes acumuladores de hechos sabidos y comprobados, "saben". Pero sin aquellos que se animan a dar un paso en la oscuridad, aún a riesgo de tropezar y caer, equivocándose, nunca tendríamos nuevos descubrimientos, nuevos saberes, nuevas sorpresas y nuevos asombros.
Hay que animarse a saber hacer.

Prueba y demostración

Llamada en español "La prueba", aunque hubiera sido más acertado "La demostración", a partir de un "The proof" original que permite ambas opciones, esta película mezcla un padre con un increíble genio matemático, una hija que sigue sus pasos, su hermana, un estudiante, un funeral, montones de notas, y una teoría matemática novedosa.

Tanto una expresión como la otra se refieren a un argumento deductivo que valida una afirmación, y que puede emplear en el proceso teoremas y axiomas. Puede enunciarse en lenguaje natural, con la ambigüedad que implica, o en rigurosos términos lógicos. Puede ser breve y sencilla, o extensa y llena de referencias a diversos temas. Puede ser muy conocida, o muy buscada. Puede ser muy citada, o muy esquiva.

Pero su poder está en su existencia. Por el sólo hecho de existir permite seguir subiendo, creciendo, descubriendo, relacionando, probando y demostrando. Una demostración es la base de otra. Así es la ciencia, como dice aquella frase atribuida erróneamente a Newton: "Si he logrado ver más lejos, ha sido porque he subido a hombros de gigantes".
Las demostraciones son esos hombros.

Error significativo

"El principito" es la más famosa de las obras del aviador y escritor francés Antoine de Saint-Exupéry. Casi un libro de culto para muchos, trata con palabras simples los temas más profundos.
Cuando en 1951 se preparaba su primera edición en español, el traductor Bonifacio del Carril detectó lo que él consideró como un error de cálculo. Sin dudar lo corrigió, convencido de que se trataba de una confusión del autor.
En el capítulo XIII  un personaje que realizaba sumas altera descuidadamente el resultado de una de ellas, al ser interrumpido por el Principito.

- Buen día – le dijo éste. – Su cigarrillo está apagado.
-Tres y dos son cinco. Cinco y siete doce. Doce y tres quince. Buenos días. Quince y siete veintidós. Veintidós y seis veintiocho. No tengo tiempo de volver a encenderlo. Veintiséis y cinco treinta y uno.

Tiempo después, mediante lecturas comparadas con el original, se descubrió el cambio, y se desató una discusión acerca de las libertades de su rol y el atrevimiento de hacer correcciones al autor de una obra. Esto llevó a que ediciones futuras volvieran al error original, pero sin lograr un acuerdo total, y pueden encontrarse todavía ambas versiones en las librerías.
Ese error hoy se considera intencional, y pone en evidencia el fastidio que le genera al hombre de negocios ser interrumpido, nuevamente, luego de once años de tranquilidad.
El error, la equivocación, la falla, no es en si misma algo que deba evitarse, sino que debe invitarnos a mirar más profundamente, para descubrir en sus raíces cuál es su causa primera.