Conjunto vacío

El ser y la nada. Lo que no existe. Lo que no es.
De eso se habla en un diálogo de fondo, fuera de la acción principal, en "La migliore offerta", de Guiseppe Tornatore.
Por esas cuestiones de idiomas, traducciones, doblaje y subtitulado, se la conoce también como "The best offer", "La mejor oferta" y "Al mejor postor". Y por esos mismos motivos no se escucha lo mismo que se dice en el original.
Sin más detalles de contexto, sin saber de qué hablan esos dos personajes, ni por qué se embarcaron en tan filosófica cuestión, se los oye enunciar, como si fuese una lista:

El conjunto de semanas de sólo seis días.
El conjunto de las horas de 51 minutos.
La longitud de un punto.
La dirección de un círculo.
El lado de una circunferencia.
El centro del espacio.
El área de un segmento.
La posición vertical de una esfera.

Así, de repente y sin aviso, podría pasar desapercibido. O más aún, ser un diálogo al azar. O ni siquiera tener sentido. Pero sí lo tiene. Son maneras de definir el conjunto vacío, ese que carece de elementos, y que por lo tanto es único. Todo lo que se menciona es inexistente. Se lo puede nombrar, pero eso no alcanza a darle entidad real. Parece que existe, pero no. Se hace de cuenta, apenas.

Ese pequeño personaje, claramente, sabe mucho.

Fórmulas, funciones y gráficas

Que las funciones modelizan múltiples situaciones, como el estado de un proceso o una evolución temporal, no es una idea novedosa. Que se aplican incluso a cuestiones inverosímiles, tampoco. Y así es que con la mirada matemática que sobre el amor tiene un niño prodigio se hizo un libro. Mejor dicho, con sus repetidos intentos de pensar el amor matemáticamente.
Colin, el protagonista de "El teorema Katherine", quiere entender por qué una y otra vez, hasta sumar diecinueve, es dejado por una Katherine diferente. Y creé que sólo podrá alcanzar esa comprensión si encuentra la fórmula de la función que pueda representar gráficamente todas las relaciones en las que fue dejado. Porque lo que busca es eso, una función, y no un teorema.
Y así, haciendo reiterados intentos que lo acercan cada vez más a su objetivo, se ve en la necesidad de explicar a otros lo que está pensando:

Colin veía la dicotomía de los dejadores frente a los dejados como una campana de Gauss. La mayoría de las personas se colocaría en la zona central. Es decir, son leves dejadores o leves dejados.

Su primer intento es simple y se ve así: f(x) = D³x² – D.

Siendo x = tiempo e y = felicidad, entonces y = 0 inicio de la relación y ruptura, y negativa = ruptura de m, e y positiva = ruptura de f.

Pero el devenir de sus días en un viaje repentino, el recuerdo de sus experiencias, el intercambio con otros y su genio sin igual lo llevan a considerar más variables, y a descubrir que las cosas no son siempre tan sencillas.

Para escribir este libro, John Green, su autor, contó con la ayuda de un matemático real, Daniel Biss, que se sincera y declara que:

... ningún matemático adulto y razonable (como mínimo no un matemático que tenga alma) se atrevería a sugerir que las relaciones amorosas pueden predecirse con una sola fórmula.

Y sin embargo, en su afán de rigurosidad, cita un trabajo real sobre las relaciones humanas y recomienda la lectura de una reseña (disponible aquí).
Lo dicho. Las cosas no siempre son tan sencillas.

¡Gracias, Cande!

ACTUALIZACIÓN 27/01/2019: Valentín Muro se explayó en su newsletter "Como funcionan las cosas" sobre cómo funciona la matemática del amor. Entre otras referencias citó el curioso trabajo de Peter Backus en el que, aplicando la ecuación de Drake, explica por qué no tiene novia.

Convenciones y conversiones

Cuando en 1893 George Bernard Shaw escribió "La profesión de la Señora Warren" obtuvo lo esperable: una orden que prohibía su representación. No fue sino hasta que hubieron pasado 32 años que Londres pudo disfrutar de la primera exhibición pública de la obra en Inglaterra. Y todo por la falta de respeto a la moral y buenas costumbres y el exhibicionismo con que Shaw mostró una realidad que, a pesar de las convenciones sociales, la hipocresía y el discurso oficial, seguía siendo real. Puso frente a todos las evidencias de la crítica situación económica y social que empujaba a muchos, y permitía sacar provecho a unos pocos. Miserables los primeros, respetables los segundos, al decir de esas convenciones. Ese ataque, que podría haber llegado desde cualquier ámbito, se apoya en algunas cuestiones de época que es conveniente conocer para entender plenamente.

En los años en que transcurre la obra, las mujeres no podían acceder a un título universitario, pero ya se les permitía participar de unos exámenes escritos que aseguraban elevados niveles de excelencia académica, los tripos. Sólo los hombres podían obtener los primeros puestos, llamados Wranglers, pero se mencionaba a aquellas mujeres que lograban posiciones equivalentes. Como Vivie, protagonista de la obra:

PREAD: Sabe usted, he estado esperando ansioso el conocerla desde su magnífico logro en Cambridge; algo sin precedente en mis días. Fue absolutamente magnífico, usted empatada con el tercer Wrangler. El lugar idóneo, sabe. El primer Wrangler siempre es un sujeto ensimismado, malsano, que lleva el asunto hasta el extremo de la enfermedad.
VIVIE: No sale rentable. No lo volvería a hacer por el mismo dinero.
PREAD: (Pasmado.) ¡El mismo dinero!
VIVIE: Sí. Cincuenta libras. Tal vez no sepa como aconteció. La señora Latham, mi tutora en Newnham, le dijo a mi madre que podría destacar en los Tripos de matemáticas si los preparaba a conciencia. Por entonces, los periódicos no paraban de hablar de Phillipa Summers que había batido al Wrangler del último curso. Se acuerda de ella, seguro.

Vivie menciona a Phillipa Summers, seudónimo que el autor impone a Philippa Fawcett, quien en 1890 superó el mejor puntaje masculino de los tripos de matemática en Cambridge.

Pero Vivie también habla de dinero, una constante en la obra, que cuantifica objetos, trabajos, honores, personas, éxitos y fracasos. No es difícil perderse en la abrumadora cantidad de unidades monetarias de la Inglaterra de aquellos años, tan lejana del sistema decimal: la libra se dividía en 20 chelines, cada uno de ellos en 12 peniques, formado por 4 farthings. Es decir que:

1 libra = 20 chelines = 240 peniques = 960 farthings

Si bien esto permite poner en perspectiva todos los valores mencionados por los personajes, todavía se hace complicado pensarlo en términos actuales, como es habitual en cualquier conversión de dinero a lo largo del tiempo.

Shaw habla también de porcentajes de ganancias, salarios de diferentes ocupaciones, rentas anuales, costos y beneficios, pasando por el tamiz del dinero todas las cuestiones que se abordan en el texto. Tal cómo diferentes personajes proponen, y otros enfrentan. Vivir, para ellos, no es más que ganar dinero.

(Para un análisis más detallado y profundo, se puede consultar la publicación de divulgaMAT.)

Pasatiempo

Cada uno espera como quiere. Cada uno usa el tiempo libre como se le da la gana. Cada uno inventa tareas para llenar momentos vacíos según sus gustos y habilidades.
Hay quien hace crucigramas, o sudokus. Hay quien lee, o duerme, o escucha música. Hay quien se abstrae sutilmente del mundo que lo rodea y simplemente queda en suspenso...

Y hay quien hace cuentas. Cálculos, operaciones, imagina problemas, los resuelve, se propone preguntas y las responde, o al menos lo intenta,  verifica, contrasta, reevalúa.
Esto es lo que hace el protagonista sin nombre de "El fin del mundo y un despiadado país de las maravillas", la novela de Murakami, cuando se encuentra encerrado en un ascensor que lo transporta sin prisa y con dudas:

Descorazonado, me recosté en la pared del ascensor y decidí matar el tiempo contando la calderilla que llevaba en los bolsillos. (...) En aquel instante llevaba en los bolsillos tres monedas de quinientos yenes, dieciocho de cien, siete de cincuenta y dieciséis de diez. Lo cual ascendía a un total de 3.810 yenes. Ese cálculo no requería esfuerzo alguno. Una operación aritmética de ese nivel es más sencilla que contar los dedos de la mano. Satisfecho, me recosté en la pared de acero y contemplé la puerta que tenía ante mis ojos. Seguía cerrada. ¿Por qué tardaba tanto en abrirse? (...) Recostado en la pared, hundí las manos en los bolsillos y empecé a contar de nuevo la calderilla. Había 3.750 yenes.¿3.750 yenes? Algo no cuadraba. Sin duda había cometido algún error. Noté cómo las palmas de las manos se me humedecían de sudor. En los tres últimos años, nunca había fallado al contar la calderilla de los bolsillos. Jamás. Se viera como se viera, era una mala señal.

La situación se describe con más detalles y mayor extensión (ver en los comentarios). Pero el fragmento es un ejemplo de aquellos que encuentran en los números un entretenimiento y obtienen de ellos placer, por los logros, las certezas, el control, la seguridad.  No se trata sólo de facilidad, o de habilidad, sino de gusto y disfrute.
Le puede pasar a cualquiera.

Saber / hacer

Terry Pratchett es reconocido por su extensa saga de novelas de Mundodisco. Pero también se animó a seguir produciendo por fuera de ella, como con las historias de Johnny y sus amigos, unos adolescentes de los '90 que pasan por más de una aventura poco usual, y son la excusa para hacer algunas críticas sociales. Una de estas novelas, "Johnny y la bomba", es un excelente relato de viajes en el tiempo, bien planteada, bien resuelta, y con buenas consideraciones al respecto de tan escabroso y visitado asunto, que no por habitual es sencillo de tratar, si se quieren evitar lugares comunes.

Al momento de presentar a sus amigos, Johnny no ahorra en descripciones. A medida que van apareciendo habla de Kirsty, el Serio, el Cojo, y Bigmac:

Bigmac era bueno. Se le daban bien las mates. De algún modo, vaya. Volvía locos a los profes. Le enseñabas cualquier ecuación horrible y decía 'x=2,75', y era correcto. Pero lo que no sabía era por qué. 'Simplemente es así', te decía. Y eso no estaba bien. Las mates no consistían en saber las respuestas, sino en saber cómo se conseguían, incluso si después el resultado era incorrecto.

Buen punto, Johnny! Ciertamente existe una dicotomía entre el 'saber' y el 'saber hacer'. Saber está muy bien, es útil, es rápido, es necesario, y hasta es reconfortante porque brinda seguridad. Pero 'saber hacer' ofrece la posibilidad de sortear un amplio abanico de nuevas situaciones, porque se sabe cómo.
De esto se trata la ciencia. De recorrer caminos sin saber a dónde llevan, pero sabiendo cómo avanzar. Y lo que se encuentre en el destino, será un nuevo punto de partida.
Las enciclopedias, muchos libros, bastante de lo que circula por internet, y muchas personas, son excelentes acumuladores de hechos sabidos y comprobados, "saben". Pero sin aquellos que se animan a dar un paso en la oscuridad, aún a riesgo de tropezar y caer, equivocándose, nunca tendríamos nuevos descubrimientos, nuevos saberes, nuevas sorpresas y nuevos asombros.
Hay que animarse a saber hacer.

Prueba y demostración

Llamada en español "La prueba", aunque hubiera sido más acertado "La demostración", a partir de un "The proof" original que permite ambas opciones, esta película mezcla un padre con un increíble genio matemático, una hija que sigue sus pasos, su hermana, un estudiante, un funeral, montones de notas, y una teoría matemática novedosa.

Tanto una expresión como la otra se refieren a un argumento deductivo que valida una afirmación, y que puede emplear en el proceso teoremas y axiomas. Puede enunciarse en lenguaje natural, con la ambigüedad que implica, o en rigurosos términos lógicos. Puede ser breve y sencilla, o extensa y llena de referencias a diversos temas. Puede ser muy conocida, o muy buscada. Puede ser muy citada, o muy esquiva.

Pero su poder está en su existencia. Por el sólo hecho de existir permite seguir subiendo, creciendo, descubriendo, relacionando, probando y demostrando. Una demostración es la base de otra. Así es la ciencia, como dice aquella frase atribuida erróneamente a Newton: "Si he logrado ver más lejos, ha sido porque he subido a hombros de gigantes".
Las demostraciones son esos hombros.

Error significativo

"El principito" es la más famosa de las obras del aviador y escritor francés Antoine de Saint-Exupéry. Casi un libro de culto para muchos, trata con palabras simples los temas más profundos.
Cuando en 1951 se preparaba su primera edición en español, el traductor Bonifacio del Carril detectó lo que él consideró como un error de cálculo. Sin dudar lo corrigió, convencido de que se trataba de una confusión del autor.
En el capítulo XIII  un personaje que realizaba sumas altera descuidadamente el resultado de una de ellas, al ser interrumpido por el Principito.

- Buen día – le dijo éste. – Su cigarrillo está apagado.
-Tres y dos son cinco. Cinco y siete doce. Doce y tres quince. Buenos días. Quince y siete veintidós. Veintidós y seis veintiocho. No tengo tiempo de volver a encenderlo. Veintiséis y cinco treinta y uno.

Tiempo después, mediante lecturas comparadas con el original, se descubrió el cambio, y se desató una discusión acerca de las libertades de su rol y el atrevimiento de hacer correcciones al autor de una obra. Esto llevó a que ediciones futuras volvieran al error original, pero sin lograr un acuerdo total, y pueden encontrarse todavía ambas versiones en las librerías.
Ese error hoy se considera intencional, y pone en evidencia el fastidio que le genera al hombre de negocios ser interrumpido, nuevamente, luego de once años de tranquilidad.
El error, la equivocación, la falla, no es en si misma algo que deba evitarse, sino que debe invitarnos a mirar más profundamente, para descubrir en sus raíces cuál es su causa primera.

Verdad y realidad

Cuando en 1948 George Orwell describió esa sociedad futura, desolada, vigilada, ambigua, le pareció oportuno ubicarla en 1984, y así tituló a su novela.
En ella la realidad es manipulada permanentemente por el Partido, para su propia conveniencia. Se altera el presente y se altera el pasado. A tal punto llega ese control, que incluso se establece la validez de verdades matemáticas, abstractas e inmutables:

Al final, el Partido anunciaría que dos y dos son cinco y habría que creerlo. Era inevitable que llegara algún día al dos y dos son cinco. La lógica de su posición lo exigía. Su filosofía negaba no sólo la validez de la experiencia, sino que existiera la realidad externa. La mayor de las herejías era el sentido común. Y lo más terrible no era que le mataran a uno por pensar de otro modo, sino que pudieran tener razón. Porque, después de todo, ¿cómo sabemos que dos y dos son efectivamente cuatro?

Winston, el protagonista, se ve arrastrado por la presión de ese convencimiento, al punto que duda de sus conocimientos, sus sentidos, su razón, su entendimiento, y de la realidad misma:

-Tardas mucho en aprender, Winston -dijo O’Brien con suavidad.

-No puedo evitarlo -balbuceó Winston-. ¿Cómo puedo evitar ver lo que tengo ante los ojos si no los cierro? Dos y dos son cuatro.

-Algunas veces sí, Winston; pero otras veces son cinco. Y otras, tres. Y en ocasiones son cuatro, cinco y tres a la vez. Tienes que esforzarte más. No es fácil recobrar la razón.

Y es lícito que a esta altura también nosotros nos preguntemos si, inevitablemente, 2+2=4. ¿Por qué? ¿Por qué si? ¿Por convención, por necesidad, por capricho?
A contestar estas cuestiones se dedicó Peano, un lógico, filósofo y matemático italiano, nacido en 1858. Su sistema axiomático viene a dar argumentos a un saber totalmente instalado, que queda así validado para la posteridad.

Y es tan necesaria esa validación, porque de una afirmación falsa puede deducirse cualquier cosa, como ya hizo Bertrand Rusell.

Y es tan certera esa validación, que afirmar algo en contrario, como que 2+2=5, se ha convertido en el mejor ejemplo para dejar en evidencia los intentos de perpetuar una ideología.

Numerables

Desde que Georg Cantor definiera el concepto "numerable" poco antes del 1900 en Rusia, tenemos esa manera elegante de decir algo simple. Un conjunto es numerable cuando sus elementos pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el de los número naturales (o un subconjunto de él). ¡Cuando sus elementos se pueden contar!
Si bien la definición matemática es bastante rigurosa, es fácilmente aplicable mientras no se la lleve a extremos forzados.
Y aunque poco nombrado y poco visible, es un concepto habitual en nuestras vidas, que ponemos en juego cada vez que contamos (numeramos): los dedos de una mano, las velas de una torta, las butacas de un teatro, las habitaciones de un hotel (aunque sea el de Hilbert).
Y esto tan cotidiano es lo que incomoda a Johnny Carter, el protagonista de "El perseguidor", de Julio Cortázar:

- Hace rato que no nos veíamos -le he dicho a Johnny-. Un mes por lo menos.
- Tú no haces más que contar el tiempo -me ha contestado de mal humor-. El primero, el dos, el tres, el veintiuno. A todo le pones un número, tú. Y ésta es igual.

Memoria

Prejuicios.
Preconceptos.
Estereotipos.
Es muy difícil escapar a todos ellos, aún cuando se haga el esfuerzo.
Cuando Murakami escribió "1Q84", girando en torno a Aomame y Tengo, una entrenadora y un profesor de matemática, se escabulló de los lugares comunes, haciendo de él un escritor en las sombras, y de ella, una asesina.
Sin embargo, aunque Tengo no sea el típico profesor de matemática, ni su vida sea típica en ningún sentido, alguien tiene que cargar con tanta imagen del inconsciente colectivo, que insiste con distracciones y falta de habilidades sociales. Y es por eso que Tengo reflexiona de esta forma acerca de uno de sus colegas:

"Si se acordaba. Ése era el problema de los matemáticos. En todo lo que no les concernía directamente, su memoria tenía una vida muy corta."